Kolmá axonometrie

Axonometrie (axa = osa; odtud také název, doslova „odměřovat podél os“) je rovnoběžné promítání. Promítáme na průmětnu (obvykle svislou) kolmým nebo šikmým směrem a proto rozlišujeme axonometrii kolmou nebo šikmou. Technická praxe používá oba druhy axonometrií především pro jejich názornost.   My budeme probírat pouze kolmou axonometrii.   Jaký je rozdíl mezi kótovaným promítáním a kolmou axonometrií? Obojí je kolmé promítání na jednu průmětnu. Rozdíl je v umístění systému souřadnic vzhledem k průmětně.

Souřadnicový systém má v axonometrii obecnou polohu vzhledem k průmětně. Tedy osy x, y, z jsou v axonometrii k průmětně šikmé (neleží v průmětně ani na ni nejsou kolmé). Úsečka na souřadnicové ose se promítáním zkrátí tím víc, čím větší úhel svírá osa s průmětnou. Rozměry těles se pak nanášejí v určitém měřítku rovnoběžně s těmito osami.   Podstatnou roli v axonometrii bude hrát to, v jaké poloze si zvolíte systém souřadnic vzhledem k průmětně. Osy axonometrického promítání lze zvolit libovolně, obvykle se však osa z („výška“) volí jako svislá.   Hlavní výhoda axonometrie proti složitějším metodám promítání je v tom, že se průmět snadno konstruuje a že se z něho dají rozměry odečíst poté, co stanovíme měřítka na jednotlivých osách (viz obrázek vedle).   Nevýhoda může být v tom, že v axonometrické projekci se rovnoběžky nesbíhají a tak je perspektivní dojem nedokonalý.     Zobrazte bod A, když: Δ XYZ=(90; 100; 110), A=[35; 20; 60] (viz vedlejší obrázek). Axonometrický trojúhelník Δ XYZ je dán délkami svých stran: |XY| = 9 cm,   |YZ| = 10 cm,   |ZX| = 11 cm. Průměty souřadnicových os x, y, z se zobrazí jako výšky tohoto trojúhelníka. Průsečík výšek (průmětů os) je průmětem počátku O. Půdorysna π je otočena kolem přímky XY do axonometrické průmětny. Otočená poloha (O) počátku O leží na ose z a na Thaletově kružnici nad průměrem XY.

• CD 6.1. Cvičení 6.2.1.   Zobrazte body A=[30; 40; 80], B=[30; –40; 80], C=[–30; –40; –80], D=[–30; 40; 40], jestliže axonometrický trojúhelník je Δ XYZ=(120; 120; 100)
   
• CD 6.2. Příklad 6.7. / Obr.6.25.   Axonometrie je zadána ΔXYZ Sestrojte stopy rovin α=(50; 90; 70), β=(–50; 90; 70).
   
• CD 6.2. Cvičení 6.5.1.   Zobrazte přímku p(A,B) a její stopníky, je-li dáno: ΔXYZ(100; 110; 120), A=[55; 30; 40], B=[25; 50; 75].
   
• CD 6.2. Cvičení 6.5.5.   Přímka p(A,B) protíná osu y. Určete B₁, p₂, p₃.
   
• CD 6.2. Cvičení 6.5.6.   Určete p₁, p₂, p₃, je-li dána přímka p(A,O).
   
• CD 6.2. Cvičení 6.7.2.   Určete průsečnici rovin α, β v těchto případech:
   
• CD 6.2. IIb) / Obr.6.38.   Sestrojte průsečík přímky p dané axonometrickým „průmětem“ a „půdorysem“ s rovinou ρ zadanou stopami.
   
• Kružnice a trojúhelníky v půdorysně π
  • afinita mezi elipsou a (otočenou) kružnicí
  • Thaletova kružnice
  
  
• CD 6.3. Obr.6.45.   Kružnice v libovolné průmětně
  V axonometrii dané ΔXYZ=(120; 110; 90) sestrojte 3 kružnice (jejich středy si volte libovolně, například podle obrázku), které mají všechny shodný poloměr r=30. Přitom:
  k(S,r) leží v půdorysně π
  k'(S',r) leží v nárysně ν
  k"(S",r) leží v bokorysně μ
  

• Příklad 1)     Kosý čtyřboký hranol
  V kolmé axonometrii zobrazte řez hranolu s podstavou v půdorysně π rovinou ρ. Určete viditelnost řezu.
   
  
• Příklad 2)     Pravidelný šestiboký hranol
  V kolmé axonometrii zobrazte řez hranolu s podstavou v půdorysně π rovinou ρ, která je kolmá k nárysně ν. Určete viditelnost řezu.
   
  
• Příklad 3)     Pravidelný čtyřboký jehlan
  V kolmé axonometrii zobrazte řez jehlanu s podstavou v půdorysně π rovinou ρ. Určete viditelnost řezu.
   
  
• Příklad 4)     Pravidelný pětiboký jehlan
  V kolmé axonometrii zobrazte řez jehlanu s podstavou v půdorysně π rovinou ρ, která je kolmá k nárysně ν. Určete viditelnost řezu.
   
  
• Čtyřboký jehlan
  V kolmé axonometrii dané ΔXYZ=(90; 100; 110) sestrojte čtyřboký jehlan ABCDV se čtvercovou podstavou v půdorysně π, je-li dána hrana podstavy A=[50; 50; 0], B=[65; –10; 0] a vrchol V=[45; 20; 90]
  Dále sestrojte řez rovinou α=(90; ∞; 50).
   
  

• Příklad 5)     Kosý čtyřboký hranol
  V kolmé axonometrii zobrazte průnik přímky a s hranolem, který má podstavu v půdorysně π. Určete viditelnost přímky a.
   
  
• Příklad 6)     Pravidelný čtyřboký jehlan
  V kolmé axonometrii zobrazte průnik přímky a s jehlanem, který má podstavu v půdorysně π. Určete viditelnost přímky a.
   
  
• Příklad 7)     Kosý kruhový válec
  V kolmé axonometrii zobrazte průnik přímky a s válcem, který má podstavu v půdorysně π. Určete viditelnost přímky a.
   
  
• Příklad 8)     Rotační kužel
  V kolmé axonometrii zobrazte průnik přímky a s rotačním kuželem, který má podstavu v půdorysně π. Určete viditelnost přímky a.
   
  
• Čtyřboký jehlan
  V kolmé axonometrii dané ΔXYZ=(100; 120; 110) sestrojte průsečíky přímky p s kosým čtyřbokým hranolem, jehož čtvercová podstava leží v půdorysně π, je-li dána úhlopříčka spodní podstavy A=[40; 20; 0], C=[20; 80; 0] a vrchol horní podstavy A'=[50; 0; 90]. Přímka p je dána body M=[–10; 60; 20], N=[80; 0; 60].
   
  

Zpět na harmonogram cvičení