Mongeovo promítání

využívá rovnoběžného pravoúhlého promítání objektu do dvou (průměten) na sebe kolmých rovin. Půdorysny π (zelená , osy x,y) ve vodorovné poloze a nárysny ν (modrá , osy x,z) ve svislé poloze. Jméno této metodě dal francouzský přírodovědec, revoluční politik a matematik Gaspard Monge (1746 – 1818), jenž je pokládán za otce deskriptivní geometrie.   Na vedlejším obrázku jsou pomocí šipek naznačeny kladné směry jednotlivých os x+, y+ , z+ (využíváme pro určování souřadnic).   Libovolný bod A v prostoru nejprve promítneme (svislým) směrem 1S kolmo do půdorysny π a dostaneme průmět A'1 a potom (vodorovným) směrem 2S kolmo do nárysny ν a dostaneme průmět A2 . Ovšem oba tyto průměty jsou v rovinách navzájem kolmých. Proto vodorovnou půdorysnu sklopíme podle naznačených černých čtvrtkružnic se šipkou do nárysny, aby obě ležely ve stejné rovině (na jednom papíru). Tím nám průmět A'1 přejde do bodu A1 . Bod A1 je půdorysem bodu A v mongeově promítání a bod A2 je nárysem bodu  A .

• Zobrazení bodu
   
  CD 5.2. Příklad 5.1. / Obr.5.5. V Mongeově projekci dané základnicí x₁₂ s počátkem O vyneste body A=[–15; 23; 45], B=[20; –38; 17].
   
  
   
  
• Zobrazení přímky
  • CD 5.3. Příklad 5.2. / Obr.5.8. Přímka m je dána svými sdruženými průměty m₁, m₂. Nalezněte její stopníky.
    Stopník přímky je průsečík dané přímky s některou průmětnou.
     
    
  • CD 5.3. Příklad 5.3. / Obr.5.12. Jsou dány přímka k a bod M svými sdruženými průměty. Bodem M veďte libovolnou různoběžku s přímkou k.
     
    
• Zobrazení roviny
  • CD 5.4. Příklad 5.4. / Obr.5.15. Rovina ρ je dána bodem A a přímkou a, která bodem A neprochází. K danému půdorysu M₁ bodu M sestrojte nárys M₂ tak, aby bod M ležel v rovině ρ.
  • CD 5.4. Příklad 5.5. / Obr.5.18.   Sestrojte stopy roviny ρ=(–20; –42; 15).
  • CD 5.4. Příklad 5.6. / Obr.5.21.   Je dána rovina ρ=(20; –40; 15) a bod M=[–10; 35; ?], který v rovině ρ leží. Sestrojte nárys bodu M.
  • CD 5.4. Příklad 5.7. / Obr.5.23.   Rovina ρ je dána bodem C=[15; 30; 40] a přímkou a=(AB), kde A=[–35; 35; 7], B=[–10; 23; 18]. Sestrojte stopy roviny ρ.
• Vzdálenost bodu od roviny
  • CD 5.5. Příklad 5.11. / Obr.5.46.   Určete vzdálenost bodu M=[15; 40; 30] od roviny α=(25; 10; –35).
• Vzdálenost bodu od přímky
  • CD 5.5. Příklad 5.16a   Určete vzdálenost bodu M=[45; 40; 20] od přímky m(P=[25; 5; 45], Q=[0; 50; 30]) pomocí roviny jdoucí bodem M kolmo k přímce m.
  • bod a přímka určují rovinu
    
• Vzdálenost dvou rovnoběžných rovin měříme na kolmici k těmto rovinám.
  • CD 5.5. Příklad 5.16b   Určete vzdálenost dvou rovnoběžných rovin α=(–40; 45; 30) a β=(–10; ?; ?).
     
    
  • CD 5.7. Příklad 5.19. / Obr.5.59     — užitím třetí průmětny.
• Zobrazení kružnice v obecné rovině     (OSOVÁ AFINITA).
  Obecná rovina, nebo také rovina v obecné poloze, je rovina, která není kolmá ani rovnoběžná se žádnou průmětnou.
  Z přednášek víte, že kolmým průmětem kružnice ležící
  • v rovině kolmé na směr promítání je kružnice;
  • v rovině rovnoběžné se směrem promítání je úsečka;
  • v obecné rovině je elipsa.
  • CD 5.6. Příklad 5.14. / Obr. 5.53.   Sestrojte průměty kružnice k(S=[20; 30; ?], r=25), která leží v rovině ρ=(–40; 40; 30).
    Kružnice ležící v obecné rovině se tedy bude v Mongeově projekci promítat jako elipsa, a to i do půdorysu i do nárysu.
    Přitom střed elipsy je průmětem středu kružnice.
    
    • Jako hlavní osa průměru kružnice se promítá průměr kružnice ležící na hlavní přímce roviny, v níž kružnice leží.
      Délka hlavní osy   2a   je rovna průměru kružnice (2× poloměr).
    • Jako vedlejší osa se promítá průměr kružnice ležící na spádové přímce dané roviny.
      Délku vedlejší osy můžeme například určit rozdílovou proužkovou konstrukcí ze známé hlavní osy a jednoho bodu elipsy (tj. průmětu bodu kružnice).
  • CD 5.6. CD Příklad 5.15. / Obr.5.54.   Stejné zadání, (sestrojte průměty kružnice k(S=[20; 30; ?], r=25), která leží v rovině ρ=(–40; 40; 30)) jiná konstrukce.
  • CD 5.6. Příklad 5.16. / Obr.5.55.   Zobrazte kružnici opsané trojúhelníku ΔABC, kde A=[10; 30; 20], B=[–20; 45; 35], C=[0; 10; 50].

• Zobrazte pravidelný čtyřboký jehlan s podstavou v rovině α(–60;60;70), kde bod A[25; ?; 70] je vrchol podstavy, bod S[10; 30; ?] je střed podstavy a výška jehlanu je v=60 (rozbor, konstrukce, výsledek).
   
  
• Zobrazte rotační válec o výšce v=80 a ose o=(P[–40; 15; 0], Q[30; 100; 100]), jehož bod M[–20; 60; 15] leží na kružnici spodní podstavy, (rozbor, část konstrukce).

• Kosý (jiné zadání)   hranol
  Příklad 2.1.
  Je dán kosý hranol s podstavou ABCD (která je tvořena pravidelným pětiúhelníkem se středem S) v půdorysně π a pobočnou hranou AA'.
  Zobrazte řez tohoto hranolu rovinou ρ, kde: A=[–5; 1; 0], S=[–5; 4; 0], A'=[5; 4; 8], ρ=(5; 9; 6).
   
  
• Příklad 2.4.
  Je dán pravidelný šestiboký jehlan ABCDEF s podstavou v půdorysně π a hlavním vrcholem V.
  Zobrazte řez tohoto jehlanu rovinou ρ, kde A=[–2; 6; 0], V=[0; 4; 5], ρ=(8; 10; 3).
   
  
• Sestrojte řez kosého jehlanu rovinou α=(–80; 140; 50). Podstava jehlanu je pravidelný šestiúhelník ležící v půdorysně π, kde: střed podstavy S=[20; 50; 0], vrchol podstavy A=[–20; 60; 100] a hlavní vrchol V=[–80; 60; 100]. Vyznačte viditelnost tělesa i řezu (výsledek).
   
  
• CD 5.9. Příklad 5.31. / Obr.5.80.   Sestrojte řez rovinou ρ=(80; 60; 55) kosého kruhového válce s podstavou (kružnicí) k v půdorysně π, je-li dán střed dolní podstavy S=[–50; 35; 0], poloměr podstavy r=25 a střed horní podstavy O=[25; 70; 70].
  !!!POZOR!!!
  Křivky řezu jsou elipsy a nikoliv kružnice v rovině ρ. To znamená, že hlavní osy průmětů těchto elips obecně neleží na hlavních přímkách roviny ρ.
  Dále upozorňuji, že v bodech přechodu viditelnosti, se elipsa řezu musí dotýkat obrysových přímek válce.

• Příklad 3.1.
  Zobrazte průnik přímky a=([–1,5; 0; 1], [2; 10; 5]) s kosým hranolem se čtvercovou podstavou, který má jednu podstavu v půdorysně π a vrcholy spodní podstavy jsou A=[4; 6; 0], C=[3; 1; 0]. Vrcholem druhé postavy je bod A'=[–3; 9; 7].
   
  
• Příklad 3.3.
  Je dán pravidelný čtyřboký jehlan s hlavním vrcholem V=[0; 4; 5] a postavou ABCD v půdorysně π, kde A=[–3; 5; 0]. Zobrazte průnik tohoto jehlanu s přímkou a=([–4; 2; 5], [4; 5; 0]).
   
  
• Příklad 3.5.
  Vyšetřete vzájemnou polohu přímky a=([–1; 0; 7], [1; 10; 0]) a šikmého kruhového válce, jehož postava leží v půdorysně π. Jedna jeho podstava má střed S=[–4; 4; 0] a druhá podstava má střed S'=[4; 7; 7]. Poloměr podstav je r=2,5.
   
  
• Příklad 3.7.
  Zobrazte průnik přímky a=([–1; 0; 7], [1; 9; 0]) s kosým kruhovým kuželem, jehož postava leží v půdorysně π, má střed S=[–3; 4; 0] a poloměr r=2,5. Vrcholem kužele je bod V=[5; 7; 8].

Zpět na harmonogram cvičení